01/09/2021

Dossier. 6 Les paradoxes de l’infinit

El que es coneix directament està acabat. La idea de l’infinit sorgeix tanmateix tan aviat com pensem. Però es pot trobar l’infinit a la natura i a la física que vol representar-la? Està present a l’Univers?

Va ser el filòsof i matemàtic txec Bernard Bolzano (1781-1848) qui, enfrontant-se a la paradoxa de la reflexivitat, va obrir realment el camí a la que avui és la nostra concepció de l’infinit.

"Estic tan per l'infinit actual que en lloc d'admetre que la naturalesa la detesta, com diem habitualment, vull que l'afecti a tot arreu, millor que marqui la perfecció del seu Autor"  Leibniz. Aquesta cita es troba al principi de l'obra de Bernard Bolzano  Les Paradoxes de l'Infini, publicada només després de la seva mort el 1851.

Aquest últim fa un pas matemàtic decisiu defensant amb convicció la idea d’un infinit actual i no només d’un potencial (vegeu el capítol 2 d’aquest dossier). El seu estat ontològic seria exactament el mateix que el d’altres nombres (finits) i les matemàtiques podrien manipular-lo tan bé com qualsevol altre objecte matemàtic. 

Clic per engrandir. Les paradoxes de l’infinit. © Geralt, Pixabay, DP

Aquesta infinitat, quant a conjunts i magnituds, seria un objecte quantitatiu dotat d’una perfecta legitimitat, a diferència de la infinitat qualitativa dels filòsofs. Bolzano espera així establir "sobre un terreny matemàtic" la metafísica de l'infinit. Considera, encara que encara no estigui formalitzat, el concepte de "conjunts infinits com a totalitats completades i ja no com a successions inacabades".

La paradoxa de la reflexivitat

Una de les seves aportacions essencials consisteix a rebutjar el caràcter paradoxal de les paradoxes de l’infinit : només existeixen mentre s’intenta aplicar conceptes finitistes a l’infinit. Per contra, Bolzano afirma que les propietats considerades paradoxals s’han d’utilitzar per definir l’infinit. Així proposa utilitzar la propietat aparentment més paradoxal, la de la reflexivitat, com a característica de les totalitats infinites (que equival a abandonar, per a les totalitats infinites, el principi del tot i de la part). Un argument utilitzat en el passat per refutar l'infinit es converteix així en la propietat que defineix conjunts infinits.

La solució de la paradoxa de la reflexivitat queda perfectament clara pel fet que la relació establerta "està continguda en" no s'ha de confondre amb la relació "tenir una mida menor que". Els nombres quadrats es contenen en nombres enters, però en conjunt tenen la mateixa mida. És ben cert que si el conjunt A està contingut en el conjunt B, llavors la mida d’A no pot ser superior a la de B, però si A i B són infinites, les seves mides poden ser iguals... el finit que es defineix de manera privada, pel fet que no té aquesta propietat de reflexivitat.

Bolzano: no només un sinó diversos infinits

Una altra idea fonamental: que no n'hi hagi un, sinó diversos infinits. Si l’infinit fos únic, el nombre infinitament gran seria el més gran de tots, cosa impossible. Bolzano considera la multiplicitat com una condició per a l'existència de l'infinit. Això permet considerar concretament la idea d'infinits quantitatius i de càlcul en l'infinit.

Però els càlculs de Bolzano, si prefiguren els que estem acostumats, encara són confusos i imperfectes. Correspondrà a Richard Dedekind (1831-1916) i, sobretot, a Georg Cantor (1845-1918) donar forma i desenvolupar les idees d’aquest brillant precursor.

Capítol anterior: Els números són infinits?
Capítol següent: Matèria: l’infinit, l’extens i el continu


Ho he vist aquí.