Dossier. 5 Els números són infinits?

El que es pot conèixer directament està acabat. La idea de l'infinit sorgeix tanmateix tan aviat com pensem. Però es pot trobar l’infinit a la natura i a la física que vol representar-la? Està present a l’Univers?

En matemàtiques, l’infinit es presenta de moltes formes. Els números són infinits? Per esbrinar-ho, descobrim la noció de nombres irracionals (sobretot nombres transcendents) i la de seqüències.

 “Més que qualsevol altra qüestió, la de l’infinit sempre ha turmentat la sensibilitat dels homes; més que qualsevol altra idea, la dels infinits va estimular i fertilitzar la seva raó; però, més que cap altre concepte, cal dilucidar el d’infinit".  David Hilbert.

Incapaços de concebre un final del procés d’enumeració de nombres enters (vegeu el capítol 2 d’aquest dossier), estem temptats de declarar-los en nombre infinit. La seva continuació sembla infinita, però es tracta d’un potencial infinit. Podem ser més específics? Podem parlar del nombre de tots els enters i manipular-lo? Sant Agustí va concedir aquesta facultat a Déu i només a Ell: "La intel·ligència divina és capaç d'abraçar tot l'infinit i de comptar innombrables éssers sense enumeració mental". Després d'ell, un llarg procés conduirà a un "descompte" d'aquest potencial infinit: la teoria dels conjunts i l'obra de Cantor al segle XIX definiran l'infinit, o millor dit, l'infinit "cardinal".

Sorgeix una altra pregunta similar, però lleugerament diferent. Tot i que sempre sembla possible construir un nombre enter més gran que qualsevol altre nombre, ens agradaria poder parlar del "més gran de tots els enters". Si l'expressió té un significat, només pot caracteritzar un nombre infinit. Tal infinit seria anomenat "ordinal", en oposició al cardinal.

Si una llarga història han portat les matemàtiques als grans infinits ordinals i cardinals, l’infinit es presenta en matemàtiques d’altres maneres. Abans, és important reconèixer que la manipulació de determinats nombres finits requereix recórrer a una certa noció d’infinit. Aquest és, per exemple, el cas dels nombres irracionals, és a dir, els nombres que no són fraccions. 

 Els números són infinits?. Crèdit: Geralt, Pixabay, DP

L’irracional

Al segle VI AC, els matemàtics grecs, influenciats per Pitàgores, creien que a tota grandesa física o geomètrica era possible associar-hi un enter, una proporció de nombres enters, anomenada "nombre racional". Molt ràpidament, es van adonar que necessitaven utilitzar nombres diferents dels racionals. Per exemple, un nombre es pot quadrar multiplicant-lo per si mateix. L’operació inversa és agafar l’arrel quadrada. Tot i això, cap racional és l’arrel quadrada de 2; tanmateix, la longitud de la diagonal d'un quadrat de costat 1 ha de tenir aquest valor, que hom anomena 2. De la mateixa manera, si calculem exactament el perímetre d'un camp quadrat amb una superfície de 2 km², per exemple, per comprar una tanca, trobem 4√2 km. Aquest nombre també és irracional. La longitud √5 metres de la hipotenusa d’un triangle rectangle amb costats d’1 metre i 2 metres és una irracionalitat. La proporció àuria (1 + √5)/2 que, tradicionalment, defineix els cànons de bellesa, correspon al repartiment “ideal” d’una longitud en la seva proporció més justa; això es defineix de manera que la proporció de la part més petita a la més gran és igual a la proporció de la més gran a la totalitat. També és irracional. De fet, qualsevol nombre irracional combinat amb un racional per les operacions de suma, resta, multiplicació i divisió és irracional.

El descobriment d’irracionals va provocar la primera crisi de la història de les matemàtiques. De fet, a la pràctica demostren ser tan essencials com els enters o els racionals. Tanmateix, la seva definició i la seva escriptura apel·len a la noció d’infinit: cadascun d’ells només es pot escriure amb un nombre infinit de decimals. En el llenguatge modern, qualsevol número es pot escriure com a decimal. Per escriure un nombre irracional cal especificar la seqüència de tots els seus decimals. Tanmateix, aquesta seqüència es distingeix precisament pel seu caràcter infinit: si fos finita (o infinita però periòdica), això demostraria que podem escriure el nombre en qüestió en forma de la proporció de dos enters: seria un racional.

Aquesta especificitat no es deu al caràcter decimal de l'escriptura, sinó que reflecteix el fet que aquests nombres es conceben realment com a resultat d'un procés infinit. Suposem que simplement volem comprovar si dos nombres irracionals són iguals: això requereix comparar tots els decimals un per un, per tant, un nombre infinit d'operacions. Qualsevol càlcul numèric a partir de nombres irracionals implica una infinitat d'operacions. En certa manera, són finits i infinits, depenent del punt de vista des del qual els considerem (d’una altra manera, un segment de línia és finit des del punt de vista de la seva longitud, infinit des del punt de vista de la vista de tots els seus punts).

Tot i que la definició de nombres irracionals requereix infinit, avui manipulem sense cap mena de dubte particular nombres com ara √2 definit com el límit d’una sèrie infinita de nombres racionals (o, si es prefereix, per un nombre infinit de decimals). La infinitat que es va utilitzar per construir-los està completament enfosquida i aquests números ens semblen perfectament finits.

Conjunts de nombres: alguns decimals ...

Els números més simples són nombres enters positius 1, 2, 3, etc., que s'anomenen amb la lletra N. A partir d’ells, l’operació de resta (inversa de suma) permet definir els enters negatius -1, -2, -3, etc.

De la mateixa manera, l'operació de divisió (inversa de la multiplicació) condueix a la definició, fraccions o nombres racionals el conjunt es denota per la lletra Q. Qualsevol nombre racional (és a dir, fraccionat) es pot escriure en forma decimal. Però, o bé aquests decimals estan en nombre finit (exemple 5/4 = 1,25), o bé mostren una periodicitat (exemple: 1/9 = 0,111111 ...).

Podem considerar un nombre que tingui un nombre infinit de decimals no periòdics? La resposta és sí. Es correspon amb una fracció? La resposta és no. Aquest número és irracional.

Els transcendents

Entre els irracionals, alguns tenen una naturalesa encara més complicada que els altres: es tracta dels nombres transcendents, que no són l’arrel de cap equació algebraica del tipus a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ ... +a₁x+a₀=0, on els a_n són enters relatius. És el cas del nombre π, que expressa la proporció de la circumferència d’un cercle amb el seu diàmetre, o de e ≈ 2.71828 ..., la base dels logaritmes naturals. 

Leibniz, aplicant el seu càlcul infinitesimal a la solució de problemes físics, va trobar com a solució corbes transcendents (és a dir, solucions d’equacions no algebraiques). Aquestes corbes tenen, com els nombres que pertanyen al mateix qualificador, un caràcter infinit, cosa que fa que Leibniz digui que "l'origen de les magnituds transcendents és l'infinit". Segons ell, el fet que apareguin com a solucions de determinats càlculs físics justifica el seu estudi, així com el de l'infinit: "La natura permet a l'infinit entrar en tot el que fa". I, de fet, l’infinit es troba a tot arreu en les matemàtiques. No podem rebutjar-ne l’ús sense renunciar a utilitzar el nombre π i els altres irracionals: hi ha alguna cosa infinita en un cercle, en el segment de línia més petit, en cada nombre irracional.

Seqüències, sèries i convergència

La noció de seqüència, essencial per a les matemàtiques i la física, implica infinit. Una seqüència es defineix mitjançant un procés que permet, a partir d’un element, definir el següent. Si el prototip és la seqüència de nombres enters, també podem definir la seqüència de nombres parells, la dels nombres primers, el dels quadrats, etc. Com que el procés no s’acaba mai, es diu que la resta és interminable. Una de les limitacions degudes a la naturalesa infinita d'una seqüència és la impossibilitat de respondre a totes les preguntes relatives a tots els seus elements. Podem llavors considerar una sèrie infinita com un objecte completat? Almenys alguns són certament el cas. Per exemple, cada nombre irracional es pot definir com una seqüència de nombres racionals d'un determinat tipus (anomenada "Successió de Cauchy"). Que manegem irracionals com altres nombres demostra que podem manejar almenys algunes seqüències infinites.

Els matemàtics i els físics sovint han de realitzar la suma infinita de tots els termes d’una seqüència. Després parlem de "sèrie". Tot i que el nombre de termes és infinit, el resultat pot ser finit: la sèrie, llavors qualificada com a "convergent", manifesta una unió de finit i infinit.

Capítol anterior: L'univers relativista i l'espai-temps
Capítol següent: Les paradoxes de l’infinit

 

Ho he vist aquí.