La Teoria de Cordes. Una introducció detallada (i IV)

Per apreciar el que la Teoria de Cordes proposa aconseguir i com intenta aconseguir aquestes propostes, cal recordar la present formulació de la física de partícules elementals i camps. Després de revisar els principis bàsics de la física de partícules, passarem a la descripció dels fonaments de la Teoria de Cordes en termes no tècnics.

Partícules elementals i camps

Considera la força familiar de l'electromagnetisme. En el nivell més simple (aplicable a molts fenòmens a escales de distància quotidianes) està descrit per un "camp clàssic". En aquest marc, un imant exerceix una força sobre un altre imant atès que cada un d'ells és una font de camp electromagnètic, impregnant tot l'espai però fent-se més feble com més llunyana és la distància a la font. El camp no necessita d'un mitjà en què recolzar-se, i pot imaginar-se com una pertorbació del buit. Postular l'existència de tal camp, subjecte a les "equacions d'ona", explica, d'una forma unificada, tots els fenòmens associats a l'electricitat i magnetisme en un punt.

La Teoria de Camps de Electromagnetisme Clàssica col·lapsa a distàncies molt curtes, o en presència de camps molt forts. Això fa necessari assumir que aquest camp no és només un nombre en cada punt de l'espai i temps, sinó un "operador quàntic", que té propietats matemàtiques definides però bastant complicades. El camp quàntic es redueix al clàssic sota les circumstàncies habituals, però difereix notablement d'aquest en alguns règims de distància o energia.

En la Teoria Quàntica, un camp no és només una cosa associat a ones, sinó també relacionat amb les partícules per virtut de la ben coneguda dualitat ona-partícules. Una partícula elemental és un tipus d'excitació coherent d'un camp quàntic. Així doncs, el camp electromagnètic ha de ser associat a una partícula fonamental que es trobi en la natura. De fet, tal partícula existeix i se la coneix com "fotó". Una imatge intuïtiva d'una interacció electromagnètica, com és descrita per la Teoria Quàntica, és que el que fa de camp és intercanviat entre els objectes que interactuen. Així doncs, un parell d'imants, quan s'aproximen l'un a l'altre, intercanvien fotons, i és aquest intercanvi el que condueix la força entre ells. Es podria dir que l'existència del fotó està predita per l'existència d'interaccions electromagnètiques quàntiques.

Extraordinàriament, totes les interaccions que es necessiten per explicar la Química (i, fins on coneixem, la Biologia) són electromagnètiques per naturalesa. Els àtoms interactuen electromagnèticament per formar molècules i compostos. D'alguna manera, per tant, podríem afirmar que l'electromagnetisme (el qual està correctament descrit per la Teoria de Camps Quàntics) és una "Teoria Unificada de la Química". Això no redueix de cap manera la importància de la investigació química! De vegades, la Teoria Unificada subjacent no és l'eina més pràctica per respondre a les preguntes que els químics volen fer. Però tot i així és profundament satisfactori estar segurs que l'electromagnetisme és la teoria completa que en principi subjacent i unifica tots els fenòmens químics. Tindrem més a dir sobre la idea de Teoria Unificada en el que segueix. 

Com l'electromagnetisme, cada interacció fonamental ha de tenir la seva pròpia partícula intermediària. Precisament les tres altres classes d'interaccions fonamentals que coneixem. Una d'elles és la familiar força gravitatòria, mentre que les altres dues són forces nuclears que només van ser descobertes en aquest segle (referit al Segle XX, l'article és de 1999): les forces "nuclear forta" i la "nuclear feble". La primera és, en particular, responsable de mantenir units als protons i neutrons que conformen el nucli d'un àtom, mentre que la següent és una força totalment diferent i dóna lloc a fenòmens com la descomposició atòmica. La força feble és l'única que viola la simetria esquerra-dreta o paritat. La gravitació, com l'electromagnetisme, és una força de llarg abast, aquesta és la raó per la qual es coneixen des de fa temps. Les dues forces nuclears dèbils són de curt abast, i, per tant, no són observades comunament a les escales quotidianes.

Per tant, podem preguntar quina és la partícula elemental associada a cadascuna d'aquestes interaccions. Per a la gravitació, associem el "gravitó", una partícula que no ha estat observada directament però que es pensa que existeix. Per la força nuclear forta associem un conjunt de partícules anomenades "gluons" a causa de les seves propietats d'unió similars a la cola (de "glue", cola en anglès), i per la força nuclear feble associem un altre conjunt de partícules anomenades "bosons W i Z". Hi ha proves de pes per a l'existència dels gluons, mentre que els bosons W i Z produïts en els acceleradors s'han observat directament. Segons això, tenim llavors un resum de totes les forces fonamentals i els portadors d'aquesta força coneguts o que creiem que existeixen avui dia.

Les cinc teories de cordes

Els intents inicials per compactar aquestes cinc teories a 4 dimensions van afavorir fortament a la corda heterótica I (8) x E (8). Amb les cordes SO (32) (heterótica i de Tipus I) la violació de paritat natural en 10 dimensions sembla ser destruïda per compactació, per tant la teoria resultant en 4 dimensions podria no descriure el món real, en el qual hi ha violació de paritat. Això era també cert per a cordes del Tipus IIB. D'altra banda, la Teoria de Tipus IIA té ja conservació de la paritat en 10 dimensions, i pel que sabíem fins fa poc sobre compactació, aparentment no podria induir violació de paritat. El quadre modern és considerablement diferent. Les cinc Teories de Cordes estan en realitat connectades unes amb altres, per tant d'alguna manera, són diferents límits d'una mateixa teoria. Aquesta única teoria no s'entén encara perfectament, però pot portar-nos a una violació de paritat en 4 dimensions. Així doncs, el que una Teoria de Cordes compactifiqui depèn de la conveniència de cada un: efectes que són complexos d'estudiar en una formulació són molt més senzills en la teoria dual.

La dilació

Mereixen discussió algunes altres propietats de les Teories de Supercordes. Una d'elles és la que fa a la qüestió de l'acoblament constant de la teoria. Les Teories de Camp Quàntic normalment contenen un paràmetre ajustable el qual determina la força de les interaccions. En realitat, com vam veure en una secció prèvia, aquest paràmetre depèn de l'escala d'energia a la qual té lloc la interacció. Aquesta pot ser petita a algunes energies i gran en altres, per exemple en la Teories de Interaccions Fortes el paràmetre és gran a baixes energies, portant a un confinament permanent dels quarks dins de les partícules com protons i neutrons, mentre que és feble a altes energies, portant a un dibuix en què el els protons i neutrons es fabriquen per quarks pràcticament sense interacció. Aquest "flux" de l'acoblament amb l'escala d'energia és característic de la majoria de Teories de Camps Quàntics on tenen lloc infinits en el càlcul d'amplituds disperses. No obstant això, la Teoria de Supercordes està lliure d'infinits donat la naturalesa extensa de les cordes. D'aquesta manera s'esperaria que la Teoria de Cordes contingués un acoblament constant que és un nombre fix, el qual hem de determinar per comparació amb els experiments.

El que succeeix a la pràctica és bastant diferent. En lloc d'un acoblament constant, totes les Teories de Cordes tenen una partícula escalar que governa la força de les interaccions. Tècnicament, el camp associat a aquestes partícules pot tenir un valor constant definit en un "buit" donat de la teoria, i aquest valor actua com l'acoblament constant. Aquesta és una meravellosa propietat atès que suggereix que la força de les interaccions de les cordes podria d'alguna manera estar determinat de manera auto-consistent per la teoria a lligar d'una entrada experimental. Això podria potencialment contestar un profunda qüestió plantejada per Dirac i altres: en electrodinàmica, per què el que fa de la càrrega elèctrica té un valor aproximadament igual a l'arrel quadrada de, que es pot obtenir experimentalment? 

Al nostre actual nivell de coneixement, encara que sabem que la dilació és present en totes les Teories de Cordes i que determina la força d'interacció, encara no sabem com determinar el valor que pren el camp en el buit. És més, a causa de la supersimetria, el valor sembla ser indeterminat i pot ser qualsevol que vulguem, la qual cosa és gairebé com prendre un paràmetre numèric lliure en la teoria. No obstant això, a baixes energies, esperem que la supersimetria es trenqui. En aquesta situació, el valor del buit per a la dilació podria quedar determinat. Comprendre això és un dels objectius que els teòrics de cordes esperen aconseguir en el futur.

 Camps Gauge de Tensors

Esmentem que les Teories de Cordes de Tipus II tenen exòtics "camps gauge de tensors" el paper va ser misteriós durant molt de temps. Tot i que el paper de tals camps no s'aclarirà en el present article, és important per comprendre la dualitat de cordes. Aquí ens centrarem en un camp tensor en particular el qual està present en realitat -encara que no ho hàgim esmentat fins ara- en les cinc Teories de Cordes. Aquest és l'anomenat "camp tensor de segon ordre", el qual és com un fotó però amb un índex de vector extra sota transformacions de Lorentz. Sota transformacions de Lorentz, el fotó (indicat com A) es transforma com un vector, diferent de camp tensor (indicat com B) que és ubic en la Teoria de Cordes, el qual es transforma com el producte de dos vectors, d'aquí que es conegui com "tensor de segon ordre". La pregunta que volem fer és bastant simple: així com una partícula puntual (com l'electró) pot carregar-se sota el camp d'un fotó, hi ha algun objecte dinàmic en la Teoria de Cordes que estigui "carregat" sota B? Això és important, ja que tal càrrega pot ajudar a dotar un objecte d'estabilitat. A la vida real, els electrons són estables a causa de que transporten la mínima unitat de càrrega elèctrica i són els objectes carregats de tal tipus més lleugers. A causa de la conservació de la càrrega, no hi ha, a més, res en el que puguin decaure! Atès que B està present en totes les Teories de Cordes, es podria sospitar que aquesta també està dotada d'algun encara apropiat objecte dinàmic carregat amb aquesta propietat d'estabilitat. 

La resposta resulta ser meravellosament simple: els objectes que porten càrregues sota un camp tensor de segon ordre són cordes. Així és, en totes les Teories de Cordes Tancades (tipus IIA, IIB i les dues cordes heteròtiques) les cordes fonamentals porten càrregues unitàries sota B i això a més es garanteix que és estable.

L'argument que porta a aquesta conclusió és bastant simple. En la mecànica quàntica, una partícula carregada té un terme acoblat EA integrat al llarg de la trajectòria (anomenada "línia del món" en teories relativistes) de la partícula. Aquí, i és el que fa de càrrega elèctrica, i pot escollir-se que sigui 1 en les unitats adequades. En la Teoria de Cordes Tancades, es troba que les cordes fonamentals tenen una interacció anàloga que consisteix a B integrat sobre la seva trajectòria, la qual cosa és bidimensional donat que la corda mateixa té una extensió espacial i es propaga en el temps. Aquesta interacció ens diu que la corda fonamental porta la unitat de càrrega sota aquest camp gauge de tensors i que a més és estable. La situació és més delicada per Teories de Cordes Obertes, per tant no les tractarem aquí.

Condicions de frontera per a cordes obertes

La propietat final de la Teoria de Cordes de 10 dimensions que volem discutir aquí són les condicions de frontera a les cordes obertes. Al contrari que en les cordes tancades, les cordes obertes tenen extrems, i això significa que al definir la configuració espacial de la corda, hem de definir les condicions de frontera en aquests extrems. L'elecció més natural seria permetre que aquests extrems es localitzessin en qualsevol punt de l'espai. En efecte, aquesta és l'única opció compatible amb la invariància de translació i la invariància de Lorentz en 10 dimensions. Si "ancorem" aquests extrems d'alguna manera, distingiríem alguna de les 9 dimensions espacials d'altres. Matemàticament, les condicions de frontera que permeten que els extrems d'una corda estigui localitzada en qualsevol punt de l'espai, i així doncs satisfer la invariància de Lorentz, són anomenades condicions de frontera de Neumann, conegut per l'estudi d'equacions diferencials en espais amb frontera. Les alternatives condicions de frontera de Dirichlet, les quals restringeixen als extrems de les cordes a caure en superfícies definides de l'espai, són clarament incompatibles amb la invariància de translació i de Lorentz, i poden mantenir-major part d'aquestes invariàncies.

No obstant això, les condicions de frontera de Neumann (les quals durant molt de temps van ser considerades com les úniques raonables per a cordes obertes) van resultar ser massa restrictives i perdien alguns profunds fenòmens dinàmics de la Teoria de Cordes. La raó és la següent. Considera una Teoria de Camp Quàntic ordinària de partícules puntuals. Encara que la teoria subjacent té invariància de translació i de Lorentz, els estats individuals de la teoria no la tenen. Per exemple, encara que l'estat de buit d'aquesta teoria és invariant en translació, la teoria també té estats de partícules úniques i de partícules múltiples en el seu espectre. Aquests estats involucren partícules localitzades en posicions fixes (per exemple, imagina l'estat d'una partícula individual en repòs en un punt definit). No és sorprenent que aquest estat trenqui la invariància de translació.

A més es podria imaginar que si assignem condicions de frontera per a cordes obertes que violin les invariàncies de translació i de Lorentz, obtenim un estat definit de la teoria, diferent de l'estat de buit. Això resulta ser cert, i té una varietat de conseqüències profundes i meravelloses. Suposa com en el primer exemple, que assignem condicions de frontera de Dirichlet als extrems d'una corda oberta, al llarg de les 9 coordenades espacials (x1, x2, ..., x9). Això limita a l'extrem de la corda a caure en una posició de l'espai, mentre la resta de la corda és lliure de fluctuar. Per exemple, podem restringir l'extrem a caure en l'origen d'algun sistema de coordenades. Llavors aquests punts es converteixen en "especials", i efectivament es comporta com una partícula puntual. Per exemple, trenca les invariànces de translació i de Lorentz exactament de la mateixa manera que ho faria un estat de partícula puntual és una teoria de camp de 10 dimensions. Però aquest estat no és una de les excitacions similars a les partícules puntuals d'una corda tancada que hem discutit! És més aviat al contrari, és un objecte definit per la propietat de que les cordes obertes acaben en ell. D'això resulta que es pot assignar una massa i càrrega definida a tal objecte, i que aquest es comporta just com una partícula elemental. Aquesta és la comunament anomenada "partícula D", on la "D" és un recordatori que sorgeix assignant condicions de frontera de Dirichlet per als extrems de les cordes obertes.

Fins aquí hem discutit dues possibles condicions de frontera: Neumann a les 9 direccions, o Dirichlet en les 9 dimensions. Podem postular fàcilment un híbrid entre les dues, segons Neumann en 2 direccions i Dirichlet en les altres 7. Això correspon a una corda oberta que està "clavada" sobre una superfície espacial bidimensional. Llavors, igual que per la partícula D, estarem forçat a interpretar la superfície completa com a objecte dinàmic que s'estén en dues direccions espacials, conegut comunament com a membrana. A més, només assignant aquestes condicions de frontera, hem produït un estat quàntic de la Teoria de Cordes que s'estén en l'espai com una membrana. Un tema diferent és si la membrana és estable. Ho serà si està carregada sota algun camp gauge generalitzat, igual que la corda era estable a causa de la seva càrrega sota el camp de tensors de segon ordre. Efectivament, és senzill veure que una membrana pot estar carregada sota un camp de tensors de tercer ordre, a causa de que la trajectòria de la membrana té una superfície tridimensional en l'espai-temps. Això té lloc en la Teoria de cordes de tipus IIA, on en efecte, l'espectre conté un camp de tensors de tercer ordre. D'aquí que la Teoria de Cordes de tipus IIA no sigui només una teoria de partícules i cordes, sinó també de membranes.

Això es pot generalitzar fàcilment si assignem p condicions de frontera Neumann i 9-p Dirichlet. L'estat corresponent s'estén en p direccions espacials i és anomenat p-brana de Dirichlet, o Dp-brana per escurçar.

 Corda oberta acabant en una p-brana de Dirichlet

Aquest tipus d'objecte pot ser difícil de visualitzar en el nostre estret món de només 3 dimensions espacials, però té molt espai per propagar-se en 9 dimensions espacials!. Fins aquí veiem que les Teories de Cordes no són només Teories de Cordes. Contenen d'una forma molt natural, objectes estesos anomenats branes en el seu espectre. Nota que entre altres coses, les D-branes proveeixen una explicació del paper dels exòtics camps gauge de tensors en les Teories de Cordes de Tipus II: doten a les branes d'estabilitat.

En l'estudi de la Teoria de Cordes, les branes resulten ser tan importants com les cordes, de fet, es podria dir que una corda fonamental és només un tipus especial de p-brana amb p = 1. S'hauria de tenir cura, però , en adonar-se que la corda fonamental no és una brana de Dirichlet com l'hem definit. Està postulada des del principi, i no definida en termes sinó alguna cosa en el que acabar. Les branes de Dirichlet són especials precisament perquè estan definides a través de cordes fonamentals que acaben en elles. Això ens permet estudiar-les usant tècniques comunes de Teoria de Pertorbació de Cordes.

Compactació

Finalment, tornem a les relacions entre el món de 10 dimensions descrit a dalt, (amb 9 dimensions espacials i una temporal) i el món real de 4 dimensions en què habitem (3 dimensions espacials i una temporal). El requeriment clau és que les dimensions espacials amb les que vam començar no haurien de ser observables físicament. En l'esperit de Kaluza i Klein, hem d'assumir a més que 6 dimensions espacials estan "enrotllades" sobre si mateixes, mentre que les 3 restants s'estenen fins a l'infinit (o al menys a distàncies molt grans). El concepte d'"espai" està enquadrat en la noció de "varietat", cosa que localment sembla l'espai comú però pot tenir curvatures i altres propietats no trivials. En particular, una varietat que estigui "corbada" de la manera que desitgem es coneix com "compacte". Així doncs, la forma més senzilla de connectar la Teoria de Cordes amb el món real és postular que 6 dimensions espacials formen una varietat compacta, la grandària és tan petita que no som capaços de detectar la seva existència directament amb les investigacions disponibles.

Les investigacions teòriques d'aquest escenari de compactació han revelat una rica connexió amb la branca de les matemàtiques que coneixem com Geometria Algebraica. La connexió sembla haver estat útil en ambdues direccions, mentre que els resultats coneguts a les matemàtiques no ajuden a tenir major coneixement de les varietats que poden ser potencialment rellevants per a la Teoria de Cordes, la configuració de la Teoria de Cordes també va provar ser útil per extreure nous resultats matemàtics (no tenim temps per entrar en detalls). Una classe especial de varietat de 6 dimensions amb propietats molt especials, coneguda com a varietat de Calabi-Yau, va resultar tenir propietats que, quan s'usen com la varietat de compactació en Teoria de Cordes, ens porten a temptadores teories realistes en 4 dimensions espai-temporals. El contingut i dinàmica de la partícula detallada en una teoria de 4 dimensions depenen de l'elecció de la varietat de Calabi-Yau, per tant no és com si la varietat fos completament inobservable. De fet, d'aquesta manera nosaltres ens ho cuinem i ens ho mengem, la varietat de Calabi-Yau seria responsable del "zoo" de partícules elementals observades en el món real, però no seria observable directament com una col·lecció de dimensions espacials extra, alguna cosa bona atès que tals dimensions extra encara no han estat observades, fins ara.

Inicialment, la classe de teories més realista es va trobar es va trobar començant amb la corda heterótica I (8) x E (8) en 10 dimensions i compactant-la en una varietat de Calabi-Yau adequada. Per exemple, d'aquesta manera es poden recuperar les teories en 4 dimensions amb grups gauge prou grans com per incloure'ls en els grups SU (3), SU (2) i U (1) associats al model estàndard (i no gaire més portaria a interaccions addicionals no observades). La teoria de quatre dimensions viola la paritat, ja que la corda heterótica subjacent viola la paritat i el procés de compactació en aquest cas no elimina la violació de paritat. A més de les partícules gauge, hi ha partícules materials (fermions) que qualitativament tenen la classe adequada de "números quàntics" per ser identificats amb els fermions coneguts a la natura, com ara electrons, muons, neutrins, quarks, etc. I, per descomptat, tenim la gravetat en quatre dimensions, atès que les Teories de Cordes descriuen la gravetat en 10 dimensions i la compactació no destrueix aquesta propietat.

A un nivell ampli, aquesta és una prova convincent que estem sobre la pista correcta. No obstant això, es mantenen una varietat de problemes. Per exemple, per raons associades amb el problema jeràrquic endèmic en la gran unificació, les compactacions que han estat afavorides donen lloc a una Teoria supersimètrica en 4 dimensions. Però això encara deixa oberta la pregunta de com i per què es trenca la supersimetria a baixes energies per donar lloc al món aparentment no supersimètric en què vivim. A més d'això, les partícules elementals més lleugeres que sorgeixen d'oscil·lacions de cordes de fet no tenen prou en 10 dimensions, i aquestes donen lloc a una multitud de partícules exactament sense massa en 4 dimensions després de la compactació. Això contrasta de forma poc favorable amb la realitat, l'única partícula exactament sense massa al món, fins on coneixem, són els fotons i gravitons. L'electró del món real no té massa zero, mentre que l'electró derivat de la corda (encara que té la càrrega apropiada així com altres nombre quàntics) és aparentment no massiu. Es creu que les masses per a aquestes partícules apareixeran un cop es trenqui la supersimetria, però els detalls d'aquest procés estan lluny de comprendre.

Tot i que la compactació com esbossem abans, roman com un important mecanisme per extreure la física del món real de la Teoria de Cordes, és notable assenyalar que alguns altres mecanismes s'han proposat només en els últims tres o quatre anys, sobre com extreure el contingut del model estàndard de la Teoria de Cordes. Algunes d'aquestes noves idees diuen superar el problema jeràrquic i altres problemes associats a la compactació convencional que apuntem de manera aproximada més amunt. No obstant això, encara no ens hem decidit sobre aquests competidors, i per tant ara no és el moment més adequat per revisar aquestes noves idees. En dos o tres anys hauria d'estar molt més clar si està clar o no un escenari detallada, consistent i tractable per connectar la Teoria de Cordes amb el món real.

Un problema íntimament relacionat en la connexió de la Teoria de Cordes amb la natura és el problema de la "constant cosmològica". La Teoria de la Gravetat admet un paràmetre que a grans trets descriu l'energia total del buit. La presència de aquest paràmetre tindria conseqüències observables espectaculars i afectaria la raó de l'expansió de l'Univers. Això ens permet posar un límit molt estricte al valor real el paràmetre a partir d'experiments. Com una Teoria de la Gravetat fonamental, la Teoria de Cordes hauria de predir el valor d'aquest paràmetre,  però en lloc d'això, ens diu alguna cosa bastant insatisfactori sobre ell.

En la Teoria de Supercordes, mentre que no es trenqui la supersimetria, la constant cosmològica és exactament zero a causa de la cancel·lació produïda pels bosons i fermions. S'ha pensat durant molt temps que això era consistent amb els experiments (recentment s'ha suggerit que, en efecte, el paràmetre ha de ser diferent de zero però extremadament petit). Però el problema és que la supersimetria es trenca en el món real, i després de la ruptura de la supersimetria la constant cosmològica pren generalment un valor diferent de zero i extremadament gran, aproximadament 100 ordres de magnitud per sobre del límit experimental!. Això és un altre problema jeràrquic. El problema no és específic de la Teoria de Cordes, sinó més bé, està en la Teoria de Cordes, com el primer candidat seriós per a una Teoria de la Gravetat Quàntica, de la qual esperem una solució correcta, i que encara no ha arribat, tot i que de nou, hi ha una gran quantitat de noves idees en els últims anys.

Conclusions importants

Hi ha hagut una investigació qualitativa d'algunes característiques elementals de la Teoria de Cordes. S'ha focalitzat durant molt de temps en les propietats que s'han conegut durant una dècada, i les quals són descrites com "Teoria perturbativa de Cordes". Malgrat això, des de 1994, han tingut lloc importants avanços en la Teoria de Cordes no-perturbativa.

La física no-perturbativa és l'estudi dels efectes físics que no poden descriure en termes d'ordre a ordre o de petits acoblaments constants. Un efecte no perturbatiu típic és la unió de dues partícules, per exemple un electró i un positró, per formar una nova partícula, en aquest cas el positroni. Per a una força d'interacció zero no hauria unió, la qual cosa és físicament molt diferent de la valor real on la unió és possible. Això significa, com hauria de ser obvi, que no es pot aproximar un estat de frontera en termes de partícules sense frontera. L'absència de coneixement sobre els efectes no pertorbatius en la física teòrica vol dir que la teoria, fins i tot si és correcta, està seriosament incompleta i no pot ser usada per a estudiar fenòmens importants que és el que s'intenta descriure.

Amb la present formulació de la Teoria de Cordes (comparada amb la Teoria de Camps Quàntics) estem en aquest cas. Tot i que no hem superat aquesta seriosa incompletesa, una nova aproximació a la Teoria de Cordes ens ha ajudat a fer importants incursions en el territori no perturbatiu. La tècnica clau ha estat fer servir consistència interna i triar simulacions com a evidències per afirmar la veritat de certes conjectures sobre l'estructura no pertorbativa. Aquesta aproximació ha destapat el paper de noves simetries anomenades "dualitats" en la Teoria de Cordes.


Bibliografia Per un article introductori com aquest, és apropiat citar només uns pocs llibres clau més que els articles d'investigació originals. El lector comú es beneficiarà dels capítols introductoris d'aquests llibres, mentre que els lectors més avançats trobaran una llista de referències tècniques en ells.
* "Superstring Theory", MB Green, JH Schwarz and E. Witten, Cambridge University Press (1987).
* "String Theory", J. Polchinski, Cambridge University Press (1998).
* "Gauge Fields and Strings", AM Polyakov, Harwood Academic, 1987.
* "Lectures on String Theory", Sr. Lust and S. Theisen, Springer-Verlag, 1989 (Lecture Notes in Physics, 346).
* "Introduction to Superstring Theory", I. Kiritsis, Leuven Univ. Press, 1998 (Leuven Notes in de Matemàtiques and Theoretical Physics, Vol. 9).

Sobre l'autor:

Sunil Mukhi va néixer a Bombai l'any 1956. És membre de l'Institut Tata per a Investigació Fonamental a Mumbai, Índia, al Departament de Física Teòrica. Les seves investigacions tracten sobre les partícules elementals de la física, més específicament Teoria de Camps Quàntics i Teoria de Cordes.

Anar al capítol 3.
Anar al capítol 1

Autor de l'original Sunil Mukhi
Traducció de l'anglès: Manuel Hermán
Traducció al català: Sci-Bit